Question

已知在平面直角坐标系中，坐标原点为O，点A，B在x轴上，OA=1，OB=5，点C在y轴上，OC=2.5，第一象限有一点D的坐标为（3，4），连接AD，BD，点E是线段AB上一动点（不与点A重合），过E作EF⊥AB交射线AD于点F，以EF为一边在EF的右侧作正方形EFGH，设E点的坐标为（t，0）
（1）求射线AD的解析式；
（2）在线段AB上是否存在点E，使△OCG为等腰三角形？若存在，求正方形EFGH的边长；若不存在，请说明理由；
（3）设正方形EFGH与△ABD重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

考点：直线的一般式方程,函数解析式的求解及常用方法

专题：数形结合,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）根据点A、D的坐标求出射线AD的方程，注意x的取值范围；
（2）根据等腰三角形的定义讨论CO=OG、CG=OG和CG=OG时，t的值是什么，求出对应的正方形边长即可；
（3）分0＜t≤

7

5

，

7

5

＜t≤2，2＜t≤3，3＜t≤5，-1＜t≤0几种情况，讨论S的解析式是什么，从而得出S与t的函数关系式．

解答： 解：（1）∵点A（-1，0），D（3，4），
∴射线AD的方程是

y-0

4-0

=

x+1

3+1

，即x-y+1=0（x≥-1）；
（2）由（1）知，y=x+1（x≥-1），
当x=0时，y=1；
∵E（t，0），∴OE=t（-1＜t≤5），
∴AE=t+1，EF=t+1；
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=HE=t+1；
∴G（2t+1，t+1）；
①当CO=OG时，（2t+1）²+（t+1）²=2.5²，
解得t₁=0.5，t₂=-1.7（舍去），
∴正方形的边长为0.5+1=1.5；
②当CG=OG时，（2t+1）²+（t+1-2.5）²=2.5²，
解得t₁=

61 -1

10

，t₂=

- 61 -1

10

（舍去），
∴正方形的边长为

61 -1

10

+1=

61 +9

10

；
③当CG=OG时，（2t+1）²+（t+1）²=（2t+1）²+（t+1-2.5）²，
解得t=0.25，
∴正方形的边长为0.25+1=1.25；
综上，存在点E，使△OCG为等腰三角形，此时正方形EFGH的边长为1.5，或

61 +9

10

，或1.25；
（3）设BD的方程为y=kx+b，∵B（5，0），D（3，4），
∴

3k+b=4 5k+b=0

解得k=-2、b=10；
∴直线BD：y=-2x+10，
把G点的坐标代入得，t+1=-2（2t+1）+10，解得t=

7

5

；
①如图（1），当0＜≤

7

5

时，S=（t+1）²=t²+2t+1；
②如图（2），当点H与点B重合时，即2t+1=5，t=2时，
令t+1=-2x+10，得x=4.5-

1

2

t；
∴当

7

5

＜t≤2时，S=

1

2

（4.5-

1

2

t-t+5-t）（t+1）-

1

2

•2（4-2t）（4-2t）=-

21

4

t²+

39

2

t-

45

4

；
③如图（3），当2＜t≤3时，S=

1

2

（4.5-

1

2

t-t+5）（t+1）=-

5

4

t²+

7

2

t+

19

4

；
④如图（4），作DS⊥OB于S，∴∠DSB=90°，∴OS=3，DS=4，OB=5，
∴BS=2，∴tan∠DBS=2；
当3＜t≤5时，BE=5-t，PE=2（5-t），
∴S=

1

2

×2（5-t）（5-t）=t²-10t+25；
⑤如图（5），当-1＜t≤0时，E（t，0），OE=-t，∴AE=EF=1+t，
∴S=（t+1）²=t²+2t+1；
综上，S与t的函数关系式是S（t）=

t2+2t+1，-1＜t≤ 7 5 - 21 4 t2+ 39 2 t- 45 4 ， 7 5 ＜t≤2 - 5 4 t2+ 7 2 t+ 19 4 ，2＜t≤3 t2-10t+25，3＜t≤5

．

点评：本题考查了分段函数的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，考查了等腰三角形的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，考查了多边形的面积的计算问题，是综合性题目．