Question

已知函数f（x）=alnx-x²．
（1）当a=2时，求函数y=f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值；
（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x）在（0，3）不单调，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由导函数值的正负得到函数的单调性和最值情况，从而得到本题结论；
（2）由题意y=g（x）在（0，3）不单调，知道在区间（0，3）内导函数的异号，对应方程有根在区间（0，3）内，得到相应有关系式，解不等式得到本题结论．

解答： 解：（1）当a=2时，
函数f（x）=2lnx-x²，
∴f′（x）=

2

x

-2x=

2-2x2

x

=

-2(x+1)(x-1)

x

，（x＞0）．
∴当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
当x=1时，f′（x）=0，f（x）有极大值f（1）=-1．
∴函数y=f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值为-1．
（2）∵g（x）=f（x）+ax，
∴g（x）=alnx-x²+ax，
∴g′（x）=

a

x

-2x+a=

-2x2+ax+a

x

．
∵y=g（x）在（0，3）不单调，
∴g′（x）=0在区间（0，3）内异号，
∴方程-2x²+ax+a=0有两个不相等的实数根，且有根在区间（0，3）内．
∴记h（x）=2x²-ax-a，
由h（0）•h（3）＜0得：0＜a＜

9

2

；
由

h(0)＞0 h(3)＞0 0＜ a 4 ＜3 h( a 4 )＜0

知，此时无解；
由h（0）=0得a=0，h（x）=2x²，不合题意；
由h（3）=0得a=

9

2

，h（x）=2x²-

9

2

x-

9

2

=

1

2

(x-3)(4x+3)，不合题意．
综上，0＜a＜

9

2

．
∴a的取值范围是（0，

9

2

）．

点评：本题考查了函数的最值和导函数的知识，本题难度适中，属于中档题．