Question

已知函数f(x)=log2(x2+1)
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上递增．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）通过f（x）解析式知，对任意x∈R，x²+1≥1＞0，所以便得到f（x）的定义域为R，并且f（x）≥0，值域也就求出来了；
（2）求f′（x），判断f′（x）＞0即可证得f（x）在（0，+∞）上递增．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R；
∵x²+1≥1；
∴log2(x2+1)≥0；
∴函数f（x）的值域为[0，+∞）；
（2）证明：x＞0时，f′（x）=

2x

(x2+1)ln2

＞0；
∴函数f（x）在（0，+∞）上递增．

点评：考查对数的真数大于0，以及对数函数的单调性，根据函数导数符号证明函数单调性的方法．