Question

（理）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，设平面向量

e1

=（2cosC，

c

2

-b），

e2

=（

1

2

a，1），且

e1

⊥

e2

．
（I）求cos2A的值；      
（Ⅱ）若a=2，则△ABC的周长L的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合正弦定理，求出A，即可求cos2A的值；
（Ⅱ）若a=2，由余弦定理，结合b+c＞2，利用基本不等式，求出2＜b+c≤4，即可求出△ABC的周长L的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵

e1

=（2cosC，

c

2

-b），

e2

=（

1

2

a，1），且

e1

⊥

e2

，
∴acosC+

c

2

-b=0，
∴根据正弦定理，可得2sinAcosC+sinC=2sinB，
∴2sinAcosC+sinC=2sin（A+C），
∴2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinC=2cosAsinC，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

，
∴cos2A=-

1

2

；
（Ⅱ）∵a=2，
∴由余弦定理可得4=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-

3(b+c)2

4

=

(b+c)2

4

，
∴b+c≤4（当且仅当b=c=2时取等号）
又b+c＞2，
∴2＜b+c≤4，
∴△ABC的周长L的取值范围为（4，6]．

点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理、正弦定理的运用，考查基本不等式，属于中档题．