Question

已知，（ a为常数，e为自然对数的底）．
（1）
（2）时取得极小值，试确定a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设的极大值构成的函数，将a换元为x，试判断是否能与（m为确定的常数）相切，并说明理由．

Answer 1

（1）；（2）使函数在时取得极小值的的取值范围是；（3）不能相切，过程见解析．

试题分析：（1）当时，,先求导函数，将代入可得；（2），令，得或，对进行讨论，当时，在区间上单调递减，没有极小值，当时，是函数的极小值点，当时，是函数的极大值点；（3）极大值为，则，可得，令则恒成立，即在区间上是增函数．当时，，即恒有，直线斜率为，不可能相切．
解（1）当时，．．
所以．
（2）．
令，得或．
当，即时，
恒成立，
此时在区间上单调递减，没有极小值；
当，即时，
若，则．若，则．
所以是函数的极小值点．
当，即时，
若，则．若，则．
此时是函数的极大值点．
综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是．
（3）由（2）知当，且时，，
因此是的极大值点，极大值为．
所以．．
令．
则恒成立，即在区间上是增函数．
所以当时，，即恒有．
又直线的斜率为，
所以曲线不能与直线相切．