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已知函数
(
R),
为其导函数,且
时
有极小值
.
(1)求
的单调递减区间;
(2)若
,
,当
时,对于任意x,
和
的值至少有一个是正数,求实数m的取值范围;
(3)若不等式
(
为正整数)对任意正实数
恒成立,求
的最大值.
试题答案
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(1)
;(2)
;(3)6.
试题分析:(1)首先要求得
的解析式,其中有两个参数
,已知条件告诉我们
以及
,由此我们把这两个等式表示出来就可解得
,然后解不等式
即可得递减区间;(2)由(1)可得
,
,由于
,又
,当
时,
,因此此时已符合题意,当
时,
也符合题意,而当
时,
,因此我们只要求此时
,
是二次函数,图象是开口方向向上的抛物线,故可采用分类讨论方法求得
的范围,使
;(3)不等式
为
,即
,设
,由
恒成立,只要
的最小值大于0即可,下面就是求
的最小值,同样利用导函数
可求得
,于是只要
,变形为
,作为
的函数
,可证明它在
上是减函数,又
,故可得
的最大值为6.
(1)由
,因为函数在
时有极小值
,
所以
,从而得
, 2分
所求的
,所以
,
由
解得
,
所以
的单调递减区间为
, 4分
(2)由
,故
,
当m>0时,若x>0,则
>0,满足条件; 5分
若x=0,则
>0,满足条件; 6分
若x<0,
①如果对称轴
≥0,即0<m≤4时,
的开口向上,
故在
上单调递减,又
,所以当x<0时,
>0 8分
②如果对称轴
<0,即4<m时,
解得2<m<8,故4<m <8时,
>0;
所以m的取值范围为(0,8); 10分
(3)因为
,所以
等价于
,即
,
记
,则
,
由
,得
,
所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以
, 12分
对任意正实数
恒成立,等价于
,即
,
记
,则
,
所以
在
上单调递减,又
,
所以
的最大值为
. 16分
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已知
,( a为常数,e为自然对数的底).
(1)
(2)
时取得极小值,试确定a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设
的极大值构成的函数
,将a换元为x,试判断
是否能与
(m为确定的常数)相切,并说明理由.
已知函数
为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线
在点
处的切线与x轴平行.
(1)求k的值,并求
的单调区间;
(2)设
,其中
为
的导函数.证明:对任意
.
已知f(x)是定义在集合M上的函数.若区间D⊆M,且对任意x
0
∈D,均有f(x
0
)∈D,则称函数f(x)在区间D上封闭.
(1)判断f(x)=x-1在区间[-2,1]上是否封闭,并说明理由;
(2)若函数g(x)=
在区间[3,10]上封闭,求实数a的取值范围;
(3)若函数h(x)=x
3
-3x在区间[a,b](a,b∈Z,且a≠b)上封闭,求a,b的值.
设直线x=t与函数f(x)=x
2
,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为________.
若函数
是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )。
A.
B.
C.
D.
已知函数
.
(1)当a=1时,求曲线
在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的值;
(3)若对任意
,且
恒成立,求a的取值范围.
已知
,
,
,其中
。
(1)若
与
的图像在交点(2,
)处的切线互相垂直,
求
的值;
(2)若
是函数
的一个极值点,
和1是
的两个零点,
且
∈(
,求
;
(3)当
时,若
,
是
的两个极值点,当|
-
|>1时,
求证:|
-
|
当
时,函数
的图象大致是
关 闭
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