Question

已知函数y=f（x），（x≠0）对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）判断函数y=f（x），（x≠0）的奇偶性；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（

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x）+f（x-5）≤0．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）赋值法：在所给等式中，令x=y=1，可求得f（1），令x=y=-1可求得f（-1）；
（Ⅱ）在所给等式中令y=-1，可得f（-x）与f（x）的关系，利用奇偶性的定义即可判断；
（3）由题意不等式f（

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x）+f（x-5）≤0可化为f（|

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x（x-5）|）≤f（1），根据单调性即可去掉符号“f”，转化为具体不等式即可解得．

解答： 解：（Ⅰ）∵对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得到：f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0；

证明：（Ⅱ）由题意可知，令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），
∴y=f（x）为偶函数；
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）函数f（x）是定义在非零实数集上的偶函数．
∴不等式f（

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x）+f（x-5）≤0可化为f[

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x（x-5）]≤f（1），f（|

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x（x-5）|）≤f（1），
∴-1≤

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x（x-5）≤1，即：-6≤x（x-5）≤6且x≠0，x-5≠0，
在坐标系内，如图函数y=x（x-5）图象与y=6，y=-6两直线．
由图可得x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]，
故不等式的解集为：[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]．

点评：本题考查抽象函数的求值、奇偶性的判断及抽象不等式的解法，定义是解决抽象函数问题的常用方法，解抽象不等式关键是利用函数性质转化为具体不等式．