Question

已知函数f（x）=x²+2x的图象在点A（x₁，f（x₁））与点B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂＜0）处的切线互相垂直，则x₂-x₁的最小值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得f′（x₁）f′（x₂）=-1，即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．可得x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+，∴f′（x）=2x+2，
∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x₁），f′（x₂），
∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，
∴f′（x₁）f′（x₂）=-1，
∴（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥

(2x1+2)(2x2+2)

=1，当且仅当-（2x₁+2）=2x₂+2=1，
即x₁=-

3

2

，x₂=-

1

2

时等号成立．
∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值为1．
故选：B．

点评：本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质，属于中档题．