Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥ax+

a

2

-

7

2

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）去绝对值，分三段，写出函数表达式，判断各段的单调性，得到最小值．
（2）令g（x）=ax+

a

2

-

7

2

，画出f（x）、g（x）的图象，通过直线过点（-

1

2

，-

7

2

），旋转观察，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=|2x+1|-|x-3|=

-x-4，x＜- 1 2 3x-2，- 1 2 ≤x≤3 x+4，x＞3

，
故函数的减区间为（-∞，-

1

2

）、增区间为（-

1

2

，+∞），
故当x=-

1

2

时，函数f（x）取得最小值为-

7

2

．
（2）由于函数g（x）=ax+

a

2

-

7

2

恒过定点（-

1

2

，-

7

2

），若f（x）≥ax+

a

2

-

7

2

恒成立，
则由图象可知-1≤a≤1．

点评：本题考查绝对值函数的最值，注意写成分段函数的形式，讨论各段的单调性，从而求出最值，考查分段函数的图象和运用，不等式的恒成立问题转化为图象的位置关系，属于中档题．