Question

椭圆C：

x2

3

+y²=1，直线l交椭圆C于A，B两点．
（1）若l过点P（1，

1

3

）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．
（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，利用中点弦的坐标，求出直线的斜率，即得直线方程；
（2）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程；
由此求出△AOB的面积表达式，求出它的最大值即可．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程得：

x12

3

+y22=1，

x22

3

+y22=1；
两式作差得：

1

3

（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
又x₁+x₂=2，y₁+y₂=

2

3

，
代入得k=

y1-y2

x1-x2

=-1，
∴此弦所在的直线方程是y-

1

3

=-（x-1），
即x+y-

4

3

=0；…（5分）
（2）易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2，…（6分）
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k²）x²+12kx+9=0；…（7分）
令△=144k²-36（1+3k²）＞0，得k²＞1；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

；…（8分）
∴S_△AOB=|S_△POB-S_△POA|=

1

2

×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|，
∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x₁x₂=(-

12k

1+3k2

)2-

36

1+3k2

=

36(k2-1)

(1+3k2)2

，…（10分）
设k²-1=t（t＞0），
∴(x1-x2)2=

36t

(3t+4)2

=

36

9t+ 16 t +24

≤

36

2 9t× 16 t +24

=

3

4

，…（12分）
当且仅当9t=

16

t

，即t=

4

3

，k²-1=

4

3

，k²=

7

3

时 等号成立，
此时△AOB面积取得最大值

3

2

．…（13分）

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了圆锥曲线中的最值问题，解题时应用根与系数的关系，结合基本不等式，进行解答，是难题目．