Question

下面给出四个命题：
①若a≥b＞-1，则

a

1+a

≥

b

1+b

；
②a＜-1是一元二次方程ax²+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件；
③在数列{a_n}中，a₁＜a₂＜a₃是数列{a_n}为递增数列的必要不充分条件；
④方程(x+y-2)

x2+y2-9

=0表示的曲线是一个圆和一条直线．
其中为真命题的是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、②④
• D、①②③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用不等式的性质即可判断出；
②利用一元二次方程的根与系数的关系即可判断出；
③数列{a_n}为递增数列?a_n＜a_n+1对于?n∈N^*都成立，即可判断出；
④方程(x+y-2)

x2+y2-9

=0可化为x+y=2或x²+y²=9，即可判断出．

解答： 解：①∵a（1+b）-b（1+a）=a-b≥0，∴a（1+b）≥b（1+a），
又a≥b＞-1，∴1+a＞0，1+b＞0，
∴

a

1+a

≥

b

1+b

，因此正确；
②要使一元二次方程ax²+2x+1=0有一个正根和一个负根则

1

a

＜0，解得a＜0，
因此a＜-1是一元二次方程ax²+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件，故正确；
③在数列{a_n}中，数列{a_n}为递增数列?a_n＜a_n+1对于?n∈N^*都成立．
因此a₁＜a₂＜a₃是数列{a_n}为递增数列的必要不充分条件；
④方程(x+y-2)

x2+y2-9

=0可化为x+y=2或x²+y²=9，
表示的曲线是圆和一条直线．因此④正确．
综上可知：①②③④都正确．
故选：D．

点评：本题综合考查了不等式的性质、一元二次方程的根与系数的关系、递增数列的充分必要条件、方程与曲线的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．