Question

设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，f（x）=x+b，且f（x）的图象经过点（-2，0），又在y=f（x）的图象中，有一部分是顶点为（0，2），且过（-1，1）的一段抛物线．
（1）试求出f（x）的表达式；
（2）求出f（x）值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知，x≤-1时，用点斜式求得，x≥1时用偶函数求得，-1＜x＜1时，用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别求出f（x）各段的值域，最后求并集即可．

解答： 解：（1）经过点（-2，0），斜率为1的射线：y=x+2，（x≤-1）
抛物线过（-1，1）和（0，2）
由于f（x）为定义在R上的偶函数，令y=ax²+c，
则有a+c=1，c=2，
得y=-x²+2，（-1＜x＜1）
又函数在R上是偶函数
所以x≥1时，射线经过（2，0）且斜率为-1，
即y=-x+2，（x≥1）
所以f（x）=

x+2，x≤-1 2-x2，-1＜x＜1 2-x，x≥1

．
（2）当x≤-1时，f（x）=x+2∈（-∞，1]，
当-1＜x＜1时，f（x）=2-x²∈（1，2]，
当x≥1时，f（x）=2-x∈（-∞，1]，
综上可得，f（x）∈（-∞，2]
则f（x）的值域为：（-∞，2]．

点评：本题主要考查分段函数及函数的图象、函数奇偶性的应用、函数的值域，待定系数法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．