Question

20．函数f（x）=-x（x-a）
（1）当a=2时，求函数f（x）单调区间；
（2）求函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f（x）=-x（x-2）=-（x-1）²+1．即可得出函数f（x）的单调区间．
（2）函数$y=-{（x-\frac{a}{2}）^2}+\frac{a^2}{4}$图象开口向下，对称轴方程为$x=\frac{a}{2}$，对$\frac{a}{2}$与区间端点±1的大小关系分类讨论即并且结合图象可得出．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=-x（x-2）=-（x-1）²+1．
∴函数f（x）的单调增区间（-∞，1]，单调减区间[1，+∞）．
（2）函数$y=-{（x-\frac{a}{2}）^2}+\frac{a^2}{4}$图象开口向下，对称轴方程为$x=\frac{a}{2}$，
1：当$\frac{a}{2}＜-1$，即a＜-2时，由图可知，当x=-1时，y_max=-a-1；
2：当$-1≤\frac{a}{2}≤1$，即-2≤a≤2时，由图可知，当$x=\frac{a}{2}$时，${y_{max}}=\frac{a^2}{4}$；
3：当$\frac{a}{2}＞1$，即a＞2时，由图可知，当x=1时，y_max=a-1；

故${y_{max}}=\left\{\begin{array}{l}-（a+1）\;，\;a＜-2\\ \frac{a^2}{4}\;，\;-2≤a≤2\\ a-1\;，\;a＞2\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．