Question

7．已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥DC，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，AB=AD=EA=1，CD=CF=2．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面BCF；
（Ⅱ）求点B到平面ECD的距离．

Answer 1

分析 （I）先计算BD，BC，利用勾股定理的逆定理证明BD⊥BC，再利用EA⊥平面ABCD得出AE⊥BD，从而有CF⊥BD，故而推出BD⊥平面FBC，于是平面EBD⊥平面BCF；
（II）证明AB∥平面CDE，于是B到平面CDE的距离等于A到平面CDE的距离，过A作AM⊥DE，证明AM⊥平面CDE，于是AM的长即为B到平面CDE的距离．

解答 （I）证明：∵AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=1，CD=2，
∴BD=BC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=CD²，
∴BD⊥BC，
∵EA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴EA⊥BD，∵EA∥FC，
∴FC⊥BD，
又BC?平面BCF，FC?平面BCF，BC∩CF=C，
∴BD⊥平面FBC，
又BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCF．
（II）解：过A作AM⊥DE，垂足为M，
∵EA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴EA⊥CD，又CD⊥AD，EA∩AD=A，
∴CD⊥平面EAD，又AM?平面EAD，
∴AM⊥CD，又AM⊥DE，DE∩CD=D，
∴AM⊥平面CDE，
∵AD=AE=1，EA⊥AD，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即A到平面CDE的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AB∥CD，CD?平面CDE，AB?平面CDE，
∴AB∥平面CDE，
∴B到平面CDE的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间距离的计算，属于中档题．