Question

12．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$，则cosα=$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$．

Answer 1

分析 法一：由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+$\frac{π}{3}$），进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．
法二：由已知利用两角和的余弦函数公式可得sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα+$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，结合同角三角函数基本关系式化简整理可得36cos²α+24cosα-11=0，结合α的范围即可得解．

解答 解：法一：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$，
∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=cos（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=（-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$．
法二：∵cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$，可得：$\frac{1}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=-$\frac{2}{3}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα+$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
又∵sin²α+cos²α=1，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα+$\frac{4\sqrt{3}}{9}$）²+cos²α=1，整理可得：36cos²α+24cosα-11=0，
∴解得：cosα=$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$，或$\frac{-2-\sqrt{15}}{6}$．
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：cosα＞0，故cosα=$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{15}-2}}{6}$．

点评 本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．