Question

15．四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD是菱形，且PD=DA=2，∠CDA=60°，过点B作直线l∥PD，Q为直线l上一动点．
（1）求证：QP⊥AC；
（2）当二面角Q-AC-P的大小为120°时，求QB的长；
（3）在（2）的条件下，求三棱锥Q-ACP的体积．

Answer 1

分析 （1）由AC⊥BD，AC⊥PD可得AC⊥平面PBD，故而AC⊥PQ；
（2）计算∠POD的大小判断Q点大体位置，设BQ=x，计算三角形POQ的边长，利用余弦定理解出x；
（3）代入公式V=$\frac{1}{3}{S}_{△POQ}•AC$计算．

解答 （1）证明：设AC∩BD=O，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，又PD?平面PBD，BD?平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵BQ∥PD，∴Q∈平面PBD，
∴PQ?平面PBD，
∴AC⊥PQ．
（2）解：连结OP，OQ，
∵△ACD是边长为2的等边三角形，
∴OD=OB=$\sqrt{3}$，∴tan∠POD=$\frac{PD}{OD}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$＜\sqrt{3}$，
∴∠POD小于60°，
∴Q点位于B点上方，
由（1）知AC⊥平面PDBQ，
∴AC⊥OP，AC⊥OQ，
∴∠POQ为二面角P-AC-D的平面角，
在Rt△POD中，$OP=\sqrt{7}$，设QB=x，则Rt△OBQ中，$OQ=\sqrt{{x^2}+3}$，
在直角梯形PDBQ中，$PQ=\sqrt{{{（2-x）}^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{{x^2}-4x+16}$，
在△POQ中，由余弦定理得$\sqrt{7（{x^2}+3）}=6-4x$，故6-4x＞0且3x²-16x+5=0，
解得$x=\frac{1}{3}$，即$QB=\frac{1}{3}$．
（3）解：由（2）知：$OQ=\frac{{2\sqrt{7}}}{3}$，
∴${S_{△POQ}}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}×\frac{{2\sqrt{7}}}{3}×sin{120°}=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$，
∵AC⊥面POQ，
∴${V_{Q-ACP}}={V_{A-POQ}}+{V_{C-POQ}}=\frac{1}{3}{S_{△POQ}}•AC=\frac{{7\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，二面角的判断与棱锥的体积计算，属于中档题．