Question

4．已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A，B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{3}{4}$，0）
• B． [-$\frac{3}{4}$，0]
• C． [-$\frac{1}{2}$，1）
• D． [-$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 先根据条件画出图形，由得到直线的距离公式求得O到直线AB的距离d=$\frac{1}{2}$．得到$\frac{1}{2}$≤|$\overrightarrow{OC}$|＜1，把$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$转化为含有$|\overrightarrow{OC}|$的代数式得答案．

解答 解：如图，
∵OA=OB=1，∠AOB=120°；
∴O到直线AB的距离d=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$≤|$\overrightarrow{OC}$|＜1，
则$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}$）
=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-（$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$）•$\overrightarrow{OC}$+$|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$
=-1+$|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$．
∴-$\frac{3}{4}$≤$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$＜0．
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范围为[-$\frac{3}{4}$，0），
故选：A．

点评 本题平面向量的数量积运算，考查数形结合解题的方法及数学转化思想方法，是中档题．