Question

10．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）过点$（\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，过点（0，-2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为$\frac{2}{3}$，则双曲线C的实轴长为（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，利用点到直线的距离公式，即可求得a和c的关系，即可求得b=2$\sqrt{2}$a，将点代入椭圆方程，即可求得a的值，求得双曲线C的实轴长．

解答 解：由双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
则（0，-2）到渐近线bx-ay=0的距离d=$\frac{丨2a-0丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2a}{c}$=$\frac{2}{3}$，
则c=3a，即b=2$\sqrt{2}$a，
由双曲线C过点$（\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，
即$\frac{2}{{a}^{2}}-\frac{8}{8{a}^{2}}=1$，解得：a=1，
则双曲线C的实轴长为2a=2，
故选A．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．