题目内容
2．已知a，b，c，d∈R且满足$\frac{a+3lna}{b}$=$\frac{d-3}{2c}$=1，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为$\frac{9}{5}$ln2$\frac{{e}^{2}}{3}$．分析 根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．
解答 解：因为$\frac{a+3lna}{b}$=$\frac{d-3}{2c}$=1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，
问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，
设M（t，t+3lnt）是曲线y=x+3lnx的切点，因为y′=1+$\frac{3}{x}$，
故点M处的切斜的斜率k=1+$\frac{3}{t}$，
由题意可得1+$\frac{3}{t}$=2，解得t=3，
也即当切线与已知直线y=2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2x+3的距离最近，
最近距离d=$\frac{|6-3-3ln3+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6-3ln3}{\sqrt{5}}$，
也即（a-c）2+（b-d）2=$\frac{9（2-ln3）^{2}}{5}$=$\frac{9}{5}$ln2$\frac{{e}^{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{9}{5}$ln2$\frac{{e}^{2}}{3}$
点评 本题主要考查了利用导数研究切线，解题的关键是利用几何意义进行求解，属于中档题
练习册系列答案
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| A． | 2 | B． | $2\sqrt{2}$ | C． | 4 | D． | $4\sqrt{2}$ |
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| A． | $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$i | B． | $\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}i$ | C． | -$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$i | D． | -$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$i |
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| A． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |