Question

5．已知点F₂，P分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若点M是PF₂的中点，$|{\overrightarrow{O{F_2}}}|=|{\overrightarrow{{F_2}M}}$|，且$\overrightarrow{O{F_2}}•\overrightarrow{{F_2}M}=\frac{c^2}{2}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用$|{\overrightarrow{O{F_2}}}|=|{\overrightarrow{{F_2}M}}$|，且$\overrightarrow{O{F_2}}•\overrightarrow{{F_2}M}=\frac{c^2}{2}$，求出直线的倾斜角，可得P的坐标，代入双曲线方程，可得结论．

解答 解：设∠OF₂M=α，则c²cos（π-α）=$\frac{1}{2}{c}^{2}$，∴cosα=-$\frac{1}{2}$，∴α=120°，
∵点M是PF₂的中点，∴P（2c，$\sqrt{3}$c），
代入双曲线方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
化简得4e⁴-8e²+1=0，
∵e＞1，∴e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，属于中档题．