Question

2．将三项式（x²+x+1）ⁿ展开，当n=1，2，3，…时，得到如下左图所示的展开式，如图所示的广义杨辉三角形：（x²+x+1）⁰=1第0行                                                              1
（x²+x+1）¹=x²+x+1第1行                                                     1 1 1
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1第2行                                     1 2 3 2 1
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1第3行                          1 3 6 7 6 3 1
（x²+x+1）⁴=x⁸+4x⁷+10x⁶+16x⁵+19x⁴+16x³+10x²+4x+1第4行   1 4 10 16 19 16 10 4 1
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x²+x+1）⁵的展开式中，x⁸项的系数为75，则实数a的值为2．

Answer 1

分析 由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x²+x+1）⁵的展开式中，x⁸项的系数为15+30a=75，即可求出实数a的值

解答 解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，
所以（1+ax）（x²+x+1）⁵的展开式中，x⁸项的系数为15+30a=75，
所以a=2．
故答案为：2

点评 本题考查二项式定理的运用以及归纳推理，解题的关键在于发现所给等式的系数变化的规律．