Question

10．设数列{a_n}的前n项和为，已知a₁=1，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n-n-2|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式得到a_n=3^n-1，n∈N^*．
（2）分类讨论，分别根据等差数列和等比数列的前n项和公式计算即可．

解答 解：（1）由题意得a₂=2S₁+1=2a₁+1=3，
当n≥2时，由a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n+1）=2a_n，
得a_n+1=3a_n，
∵a₂=3a₁，
∴a_n=3^n-1，n∈N^*．
（2）设b_n=|a_n-n-2|，n∈N^*．b₁=2，b₂=1，
当n≥3时，由于3^n-1＞n+2，故b_n=3^n-1+（n-2），n≥3，
可知T₁=2，T₂=3，
当n≥3时，T_n=3+$\frac{9（1-{3}^{n-2}）}{1-3}$-$\frac{（n-2）（n+7）}{2}$=$\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}$，（*），
当n=1时，T₁=4≠2，不适合，
当n=2时，T₂=3，适合，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}，n≥2}\end{array}\right.$

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了构造法的应用及分类讨论的思想应用．