Question

14．已知f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）．
（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）对?x₁∈R，有f（x₁）≥2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=3的值代入f（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）因为a=3，
所以有|x-1|+|x-3|≥4，
当x≤1时，有4-2x≥4，所以x≤0，
当1＜x＜3时，有2≥4，
当x≥3时，有2x-4≥4，所以x≥4，
综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．
（2）由题意可得f（x）_min≥2，
又f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，
所以有|a-1|≥2，
即a的取值范围a≥3或a≤-1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义以及分类讨论思想，是一道基础题．