Question

2．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1．
（I）证明：曲线y=f（x）在x=1处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（II）若关于x的不等式f（x）≤（a-1）x恒成立，求整数a的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标；
（II）构造函数g（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1-（a-1）x，把恒成立问题转化为最值问题进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1．
∴f'（x）=$\frac{1}{x}$-ax，
∴f'（1）=1-a，f（1）=-$\frac{1}{2}$a+1，
∴在x=1处的切线为y-（-$\frac{1}{2}$a+1）=（1-a）（x-1），
∴y=-a（x-$\frac{1}{2}$）+x，恒过（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（II）令g（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1-（a-1）x≤0恒成立，
∵g'（x）=$\frac{-a{x}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，
（1）当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）递增，
g（1）=-$\frac{3}{2}$a+2＞0，不成立；
（2）当a＞0时，
当x在（0，$\frac{1}{a}$）时，g'（x）＞0，g（x）递增；
当x在（$\frac{1}{a}$，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减，
∴函数最大值g（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-lna，
令h（a）=$\frac{1}{2a}$-lna，可知为减函数，
∵h（1）＞0，h（2）＜0，
∴整数a的最小值为2．

点评 本题考查了导函数的应用和对直线方程的理解．难点是对函数的构造和参数的分类讨论．