Question

14．已知数列{a_n}为公差不为0的等差数列，满足a₁+a₂+a₃=21，且a₁，a₆，a₂₁成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n（n∈N^*），且b₁=$\frac{1}{3}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，列方程，解方程即可得到首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）运用当n≥2时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=（$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）+（$\frac{1}{{b}_{n-1}}$-$\frac{1}{{b}_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{{b}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{1}}$）+$\frac{1}{{b}_{1}}$，结合等差数列的求和公式，化简可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=n（n+2），b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由a₁+a₂+a₃=21，且a₁，a₆，a₂₁成等比数列．
可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=21}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+20d）=（{a}_{1}+5d）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+3，n∈N*．
（2）由$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
当n≥2时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=（$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）+（$\frac{1}{{b}_{n-1}}$-$\frac{1}{{b}_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{{b}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{1}}$）+$\frac{1}{{b}_{1}}$
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+$\frac{1}{{b}_{1}}$=（2n+1）+（2n-1）+…+5+3=$\frac{1}{2}$（n-1）（2n+6）+3=n（n+2），
对b₁=$\frac{1}{3}$上式也成立，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=n（n+2），
∴b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴前n项和T_n=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及数列的恒等式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．