Question

14．如图，△ABC内接于⊙O，弦AE交BC于D，已知AD²=BD•DC，∠ADC=60°，OD=1，OE⊥BC．
（1）求∠ODG；
 （2）求△ABC中BC边上的高．

Answer 1

分析 （1）推导出OD⊥AE，从而△ODE为直角三角形，由△DGE∽△ODE，能求出∠ODG．
（2）作AF⊥BC于F，连结OA，推导出$∠AOD=∠DOE=\frac{π}{3}$，由此能求出BC边上的高．

解答 解：（1）∵△ABC内接于⊙O，弦AE交BC于D，AD²=BD•DC，
∴D为AE的中点，OD⊥AE，
∴△ODE为直角三角形，
∵OE⊥BC，∴△DGE∽△ODE，
∴∠EDG=∠DOE，
又∠ADC=∠EDG（对顶角），
∴∠ODG=90°-60°=30°．
（2）作AF⊥BC于F，连结OA，
由（1）得$∠AOD=∠DOE=\frac{π}{3}$，
在Rt△AOD与Rt△ADF中，
AF=ADsin$\frac{π}{3}$=OEsin²$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴BC边上的高为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查角的大小的求法，考查边上的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相似三角形的性质的合理运用．