Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦点F（1，0），M，N是椭圆上关于x轴对称的两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知Q（2，0），若MF与QN相交于点P，证明：点P在椭圆C上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：列方程组，求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设M，N的坐标，求得直线MF和NQ的方程，联立解得P点坐标，将P点坐标代入椭圆方程，满足椭圆C的方程，即点P在椭圆C上．

解答 解：（Ⅰ）由已题意可知，得$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$…（3分）
解得：$a=\sqrt{2}$，b=1，…（5分）
因此椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（6分）
（Ⅱ）证明：根据题意可设M，N的坐标分别为（x₀，y₀），（x₀，-y₀）（y₀≠0）则
直线MF的方程为$x=\frac{{{x_0}-1}}{y_0}y+1$，①
直线NQ的方程为$x=\frac{{2-{x_0}}}{y_0}y+2$．②…（8分）
联立①②解得$x=\frac{{3{x_0}-4}}{{2{x_0}-3}}$，$y=\frac{y_0}{{2{x_0}-3}}$，即$P（\frac{{3{x_0}-4}}{{2{x_0}-3}}，\frac{y_0}{{2{x_0}-3}}）$．…（11分）
由$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$，可得${y_0}^2=1-\frac{{{x_0}^2}}{2}$．
∵$\frac{1}{2}{（\frac{{3{x_0}-4}}{{2{x_0}-3}}）^2}+{（\frac{y_0}{{2{x_0}-3}}）^2}=\frac{{{{（3{x_0}-4）}^2}}}{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}+\frac{{2-{x_0}^2}}{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}$=$\frac{{8{x_0}^2-24{x_0}+18}}{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}=\frac{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}=1$，
∴点P坐标满足椭圆C的方程，即点P在椭圆C上．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．