Question

3．如图，已知直线l：y=$\sqrt{3}$x+4，圆O：x²+y²=3，直线m∥l．
（1）若直线m与圆O相交，求直线m纵截距b的取值范围；
（2）设直线m与圆O相交于C、D两点，且A、B为直线l上两点，如图所示，若四边形ABCD是一个内角为60°的菱形，求直线m纵截距b的值．

Answer 1

分析 （1）利用m∥l，求出直线l；设直线m的方程，利用设圆心O到直线m的距离为d，通过直线m与圆O相交，求解即可．
（2）求出CD，利用AB与CD之间的距离，结合$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{CD}|$求解即可．

解答 解：（1）∵m∥l，直线$l：y=\sqrt{3}x+4$，
∴可设直线$m：y=\sqrt{3}x+b$，即$\sqrt{3}x-y+b=0$，
设圆心O到直线m的距离为d，又因为直线m与圆O相交，
∴$d=\frac{|b|}{{\sqrt{{{（{\sqrt{3}}）}^2}+{{（{-1}）}^2}}}}＜r=\sqrt{3}$，…（2分）
即$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$，∴$b∈（{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}）$…（4分）
（2）由$|{CD}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{3-\frac{b^2}{4}}$，①…（6分）
AB与CD之间的距离$h=\frac{{|{b-4}|}}{2}$，②…（8分）
又$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{CD}|$③…（10分）
联立①②③得到：b²-2b-5=0，又$b∈（{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}）$，
解得：$b=1+\sqrt{6}$或$b=1-\sqrt{6}$…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．