Question

若于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-2，2]
• B、(

  3

  ，2]
• C、(-

  3

  ，2]
• D、[-

  3

  ，2]

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：计算题,分类讨论,不等式的解法及应用

分析：关于x的方程x²-ax+a²-3=0至少有一个正根?（1）当方程只有一个根，且为正根，（2）当方程有两个根
①方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．

解答： 解：∵△=a²-4（a²-3）=12-3a²
（1）当方程只有一个根时，△=0，此时a=±2，
若a=2，此时方程x²-2x+1=0的根x=1符合条件，
若a=-2，此时方程x²+2x+1=0的根x=-1，不符舍去．
（2）当方程有两个根时，△＞0可得-2＜a＜2，
①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a²-3≤0，
解得-

3

≤a≤

3

，符合条件；
②若方程有两个正根，则

a＞0 a2-3＞0

，解得a＞

3

，符合条件．
综上可得，-

3

≤a≤2．
故选C．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，考查运算能力，是中档题．