Question

设x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个实数根，且x₁≠x₂，x₁≠0，x₂≠0，求证：方程

a

2

x2+bx+c=0有且仅有一个实数根介于x₁与x₂之间．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：先由x₁与x₂分别是实系数方程ax²+bx+c=0和-ax²+bx+c=0的一个根，得到关于x₁与x₂的两个等式，再设f（x）=

a

2

x²+bx+c，利用条件推出f（x₁）f（x₂）＜0，即可说明方程

a

2

x²+bx+c=0有一个根介于x₁和x₂之间．

解答： 证明：设f（x）=

a

2

x2+bx+c，
∵

ax

2 1

+bx1+c=0，-

ax

2 2

+bx2+c=0，
∴

a

2

x

2 1

+bx1+c=-

a

2

x

2 1

，

a

2

x

2 2

+bx2+c=

3a

2

x

2 2

，
∴f(x1)f(x2)=(

a

2

x

2 1

+bx1+c)(

a

2

x

2 2

+bx2+c)=-

a

2

x

2 1

•

3a

2

x

2 2

=-

3a2

4

(x1x2)2．
∵x₁≠x₂，∴a≠0．又x₁≠0，x₂≠0，
∴-

3a2

4

(x1x2)2＜0，即f（x₁）f（x₂）＜0，
故方程f（x）=0在x₁与x₂之间有实数根．
若在x₁与x₂之间有两个实数根，则必有f（x₁）f（x₂）＞0，矛盾，
故方程

a

2

x2+bx+c=0有且仅有一个实数根介于x₁与x₂之间．

点评：本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．