Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中a＞0，a≠1．设h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）若f（3）=2，求使h（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求得函数h（x）的定义域关于原点对称，再根据h（-x）=-h（x），可得函数h（x）为奇函数．
（Ⅱ）由f（3）=2求得a=2，由h（x）＞0，可得log₂（1+x）＞log₂（1-x），故有

1+x＞1-x 1-x＞0

，由此求得使h（x）＞0成立的x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得

1+x＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，
可得函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称．
再根据h（-x）=f（x）-g（x）=log₄（1-x）-log₄（1+x）=g（x）-f（x）=-h（x），
可得函数h（x）为奇函数．
（Ⅱ）若f（3）=2=log_a（1+3），故a=2，此时，h（x）=f（x）-g（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
由h（x）＞0，可得log₂（1+x）＞log₂（1-x），∴

1+x＞1-x 1-x＞0

，求得0＜x＜1．
故使h（x）＞0成立的x的集合为{x|0＜x＜1}．

点评：本题主要考查对数函数的性质的综合应用，函数的奇偶性的判断，解对数不等式，体现了转化的数学思想，属于基础题．