Question

在二项式（2x-3y）⁹的展开式中，求：
（1）二项式系数之和； 
（2）各项系数之和； 
（3）所有奇数项系数之和； 
（4）系数绝对值的和．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）根据二项式系数之和为 2ⁿ，计算求得结果．
（2）在二项式（2x-3y）⁹的展开式中，令x=1，y=1，可得各项系数之和．
（3）在所给的等式中，令x=1，y=1得到一个式子，再令x=1，y=-1，又可得一个式子，将两式相加可得a₀+a₂+a₄+a₆+a₈的值．
（4）由题意可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|即为（2x+3y）⁹展开式中各项系数之和，令x=1，y=1得，|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|的值．

解答： 解：（1）在二项式（2x-3y）⁹的展开式中，二项式系数之和为 2ⁿ=2⁹．
（2）在二项式（2x-3y）⁹的展开式中，令x=1，y=1，可得各项系数之和为a₀+a₁+a₂+…+a₉=（2-3）⁹=-1．
（3）令x=1，y=1，∴a₀+a₁+a₂+…+a₉=（2-3）⁹=-1．
令x=1，y=-1，可得a₀-a₁+a₂-…-a₉=5⁹，
将两式相加可得a₀+a₂+a₄+a₆+a₈=

59-1

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，即为所有奇数项系数之和．
（4）由题意可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|即为（2x+3y）⁹展开式中各项系数之和，
令x=1，y=1得，|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₉|=5⁹．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于基础题．