Question

12．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+cx（b，c∈R），f′（1）=0，x∈[-1，3]时，曲线y=f（x）的切线斜率的最小值为-1，求b，c的值．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据导数的几何意义，讨论x∈[-1，3]时，曲线y=f（x）的切线斜率的最小值为-1，来确定b、c的值．

解答 解：已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³+bx²+cx（b，c∈R），那么：f′（x）=x²+2bx+c=（x+b）²+c-b²，
对称轴为x=-b，
∵f′（1）=0，
∴f′（1）=1+2b+c=0，…①
（1）若-b≤-1，即b≥1，f′（x）在[-1，3]上是增函数，
所以f′（x）_min=f′（-1）=-1，即1-2b+c=-1，…②
由①②解得b=$\frac{1}{4}$，不满足b≥1，故舍去．
（2）若-1＜-b＜3，即-3＜b＜1，f′（x）_min=f′（-b）=-1，
即b²-2b²+c=-1，…③
由①③解得b=-2，c=3，或b=0，c=-1
（3）若-b≥3，即b≤-3，f′（x）在[-1，3]上是减函数，
所以f′（x）_min=f′（3）=-1，
即9+6b+c=-1，…④
由①④解得b=-$\frac{9}{4}$，不满足b≤-3，故舍去．
综上可知，b=-2，c=3或b=0，c=-1．

点评 本题主要考查导数的计算，根据导数的几何意义求出切线斜率方程，在范围内讨论其最值是解决本题的关键．属于中档题．