题目内容
4．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且|PF|=$\frac{3}{2}$．（1）求p，t的值；
（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S△OAB=$\frac{3}{2}{S_{△ODE}}$（S△OAB表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，进而可得t值；
（2）由题意，直线OA的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A，B的坐标，进而可得E的坐标，利用S△OAB=$\frac{3}{2}{S_{△ODE}}$，即可得出结论．
解答 解：∵点 P（1，t）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，|PF|=$\frac{3}{2}$，
∴1+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得：p=1，
故抛物线的方程为：y2=2x，
将x=1代入可得：t=±$\sqrt{2}$；
（2）由题意，直线OA的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A在第一象限．
设直线OA的方程为y=kx（k＞0），OA⊥OB，直线OB的方程为y=-$\frac{1}{k}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得k2x2=2x，∴x=0（舍去）或x=$\frac{2}{{k}^{2}}$，即A（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．
同理B（2k2，-2k）．
∵k=1时，AB⊥y轴，不符合题意，
∴直线AB的方程为y+2k=$\frac{\frac{2}{k}+2k}{\frac{2}{{k}^{2}+2{k}^{2}}}$（x-2k2），
即y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2k2），
∴E（0，$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$）．
∵S△OAB=$\frac{3}{2}{S_{△ODE}}$，
∴|yA|+|yB|=$\frac{3}{2}$|yE|，
∵yA，yB异号，
∴|yA|+|yB|=|yA-yB|=$\frac{3}{2}$|yE|，
∴|$\frac{2}{k}+2k$|=$\frac{3}{2}$•|$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$|
∴k2=$\frac{1}{2}$或2，
∴A（4，2$\sqrt{2}$）或A（1，$\sqrt{2}$），
由对称性，可得A（4，±2$\sqrt{2}$）或A（1，±$\sqrt{2}$）．
点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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