Question

7．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C为ρ=4cosθ+2sinθ．曲线C上的任意一点的直角坐标为（x，y），求x-y的取值范围．

Answer 1

分析 曲线C为ρ=4cosθ+2sinθ，即ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程：（x-2）²+（y-1）²=5．令x=2+$\sqrt{5}$cosα，y=1+$\sqrt{5}$sinα．化简即可得出．

解答 解：曲线C为ρ=4cosθ+2sinθ，即ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4x+2y，配方为：（x-2）²+（y-1）²=5．
令x=2+$\sqrt{5}$cosα，y=1+$\sqrt{5}$sinα．
则x-y=2+$\sqrt{5}$cosα-（1+$\sqrt{5}$sinα）=1+$\sqrt{5}$（cosα-sinα）=1+$\sqrt{10}$$sin（\frac{π}{4}-α）$∈$[1-\sqrt{10}，1+\sqrt{10}]$．
∴x-y的取值范围为$[1-\sqrt{10}，1+\sqrt{10}]$．

点评 本题考查了圆的极坐标方程、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．