Question

2．已知函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=g（x）的图象；若函数y=g（x）在区间$（\frac{π}{2}，\frac{13π}{4}）$上的图象与直线y=a有三个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式以及倍角公式，辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．
（2）根据三角函数的图象变换关系求出函数g（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$，
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx），
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x-cos²x，
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
所以$x∈（kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}）$时函数单调递增；
（2）g（x）=sin[2（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（x-$\frac{π}{2}$）=cosx．
根据图象知：$a∈（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．