Question

已知椭圆方程为＋x²＝1，斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)．

(1)求m的取值范围；

(2)求△MPQ面积的最大值．

Answer 1

解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋1，

由

可得(k²＋2)x²＋2kx－1＝0.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－.可得y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2＝.

设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为，

由题意有k_MN·k＝－1，可得·k＝－1，可得m＝，又k≠0，所以0<m<.

(2)设椭圆的焦点为F，

则S_△MPQ＝·|FM|·|x₁－x₂|＝

，

所以△MPQ的面积为

设f(m)＝m(1－m)³，

则f′(m)＝(1－m)²(1－4m)．

可知f(m)在区间上递增，在区间上递减．

所以，当m＝时，

f(m)有最大值

即当m＝时，△MPQ的面积有最大值.