Question

已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OA⊥OB.设直线l的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x₁，y₁)，

B(x₂，y₂)则·＝－1，

即x₁x₂＋y₁y₂＝0.①

由

消去y得，2x²＋2(b＋1)x＋b²＋4b－4＝0，

∴x₁＋x₂＝－(b＋1)，

x₁x₂＝(b²＋4b－4)，②

y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)＝x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²＝(b²＋4b－4)－b²－b＋b²＝(b²＋2b－4)．③

把②③式代入①得，得b²＋3b－4＝0，

解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)²－8(b²＋4b－4)>0成立．故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.