Question

已知函数f（x）=e^x-ax，g（x）=-ax（

1

2

x-1）+1
（Ⅰ）已知区间[-1，1]是不等式f（x）＞0的解集的子集，求a的取值范围；
（Ⅱ）已知函数φ（x）=f（x）+g（x），在函数y=φ（x）图象上任取两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若存在a使得y₁-y₂≤m（x₁-x₂）恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用区间[-1，1]是不等式f（x）＞0的解集的子集，即可求a的取值范围；
（Ⅱ）若存在a使得φ（x₁）-φ（x₂）≤mx₁-mx₂成立，即：φ（x₁）-mx₁≤φ（x₂）-mx₂，构建函数：F（x）=φ（x）-mx，为增函数满足题意，即F'（x）≥0恒成立，构建函数G（x）=e^x-ax-m，G'（x）=e^x-a，分类讨论，即可求m的最大值．

解答： 解：（I） f′（x）=e^x-a
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在区间[-1，1]上为增函数
由题意可知f（-1）＞0，即 a＞-

1

e

，∴-

1

e

＜a≤0…（2分）
②当a＞0时，f′（x）=0，解得：x₀=lna…（3分）
x∈（-∞，x₀）f′（x）＜0，x∈（x₀，+∞）f′（x）＞0
故有当x₀∈[-1，1]，即：

1

e

≤a≤e时，f（x₀）＞0即满足题意
即f（lna）=a-alna＞0，构建函数h（x）=x-xlnx（

1

e

≤x≤e）
h′（x）=-lnx，当x=1时为极大值点，有h（1）≤0
故a-alna＞0不等式无解…（4分）
当x₀＜-1即0＜a＜

1

e

时，f（-1）＞0，即e^-1-a（-1）＞0
解得：a＞-

1

e

，∴0＜a＜

1

e

当x₀＞1即a＞

1

e

时，f（1）＞0，即e-a＞0
解得：a＜e，∴

1

e

＜a＜e…（6分）
综上所述：a∈(-

1

e

，

1

e

)∪(

1

e

，e)…（7分）
（II）由题意可知：φ(x)=ex-

a

2

x2+1，可设任意两数x₁＜x₂
若存在a使得φ（x₁）-φ（x₂）≤mx₁-mx₂成立，即：φ（x₁）-mx₁≤φ（x₂）-mx₂
构建函数：F（x）=φ（x）-mx，为增函数满足题意，即F'（x）≥0恒成立即可，F'（x）=e^x-ax-m，
构建函数G（x）=e^x-ax-m，G'（x）=e^x-a…（9分）
当a＜0时，G'（x）＞0，G（x）为增函数
则不存在a使得F'（x）≥0恒成立，故不合题意…（10分）
当a=0时，F'（x）=e^x-m≥0，可解得m≤0…（11分）
当a＞0时，可知G'（x）=e^x-a=0，即x=lna为极小值点，也是最小值点，
G（lna）=a-alna-m≥0，∴m≤a-alna，
由于存在a使得该式恒成立，即m≤（a-alna）_max，
由（I）可知，当a=1时，m≤1…（12分）
综上所述m的最大值为1…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的构造，难度大．