Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD．
（l）若AC=6，BD=8，PB=3，求三棱锥A一PBC的体积；
（2）若点E是DP的中点，证明：BD⊥平面ACE．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用转换底面求三棱锥A一PBC的体积；
（2）设BD∩AC=O，连接OE，证明OE⊥平面ABCD，可得OE⊥BD，利用AC⊥BD，即可证明BD⊥平面ACE．

解答： （1）解：∵底面ABCD为菱形，
∴BD与AC垂直平分，
∴S_△ABC=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

×

1

2

×6×8=12，
∵PB⊥平面ABCD，PB=3，
∴V_A一PBC=V_P-ABC=

1

3

×12×3=12；
（2）证明：设BD∩AC=O，连接OE，则
∵O为BD的中点，E是PD的中点，
∴OE∥PB，
∵PB⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴OE⊥BD，
∵AC⊥BD，AC∩OE=O，
∴BD⊥平面ACE．

点评：本题考查体积的计算，考查线面垂直，正确运用线面垂直的判定定理是关键．