Question

3．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，公比为q；等差数列{b_n}中，b₁=3，且{b_n}的前n项和为S_n，a₃+S₃=27，q=$\frac{S_2}{a_2}$．
（Ⅰ）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{3}{{2{S_n}}}$，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的关系式，列出方程，即可求出通项公式．
（2）表示出c_n，利用裂项求和，求解即可．

解答 解：（1）设数列{b_n}的公差为d，
∵${a_3}+{S_3}=27，q=\frac{S_2}{a_2}$，
∴q²+3d=18，6+d=q²，q=3，d=3•…（4分）
${a_n}={3^{n-1}}$，b_n=3n，•…（6分）
（2）由题意得：${S_n}=\frac{{n（{3+3n}）}}{2}$，${c_n}=\frac{3}{{2{S_n}}}=\frac{3}{2}•\frac{2}{3}（{\frac{1}{{n（{n+1}）}}}）=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$•…（12分）．

点评 本题考查数列的通项公式以及求和的方法的应用，考查计算能力．