Question

7．已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A（-1，1）和B（1，3）
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l被圆C截得的弦长为$4\sqrt{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆心为M（a，0），由|MA|=|MB|求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程．
（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（-1，1）和B（1，3），
由|MA|=|MB|可得 MA²=MB²，即（a+1）²+1=（a-1）²+9，求得a=2，
可得圆心为M（ 2，0），半径为|MA|=$\sqrt{10}$，故圆的方程为 （x-2）²+y²=10，
（Ⅱ）直线l被圆C截得的弦长为$4\sqrt{2}$，∴圆心到直线的距离d=$\sqrt{10-8}$=$\sqrt{2}$．
设直线方程为y-1=k（x+1），即kx-y+k+1=0，
∴$\frac{|3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，∴k=-1或$\frac{1}{7}$，
∴直线l的方程为x-7y+8=0或x-y=0．

点评 本题主要考查求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于基础题．