题目内容
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，E是侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求证：PA⊥平面ABCD．
考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明PB∥平面ACE；
（2）根据线面垂直的判定定理即可证明PA⊥平面ABCD．
（2）根据线面垂直的判定定理即可证明PA⊥平面ABCD．
解答：
解：（1）连结BD交AC于O，连结OE，
∵E是侧棱PD的中点，∴OE是△PBD的中位线，
则OE∥PB，
∵OE⊆△ACE，
∴PB∥平面ACE；
（2）∵底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，
∴BC⊥AB，CD⊥AD，
即CB⊥平面PAB，CD⊥PAD，
则CB⊥PA，CD⊥PA，
∵CB∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD．
∵E是侧棱PD的中点，∴OE是△PBD的中位线，
则OE∥PB，
∵OE⊆△ACE，
∴PB∥平面ACE；
（2）∵底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，
∴BC⊥AB，CD⊥AD，
即CB⊥平面PAB，CD⊥PAD，
则CB⊥PA，CD⊥PA，
∵CB∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD．
点评：本题主要考查空间直线和平面的平行和垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理．
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