题目内容
4．在△ABC中，若3sinC=2sinB，点E，F分别是AC，AB的中点，则$\frac{BE}{CF}$的取值范围为$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．分析 由已知及正弦定理得AC=$\frac{3}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}AB$，由余弦定理可求BE2=$\frac{25}{16}$AB2-$\frac{3}{2}$AB2cosA，CF2=$\frac{5}{2}$AB2-$\frac{3}{2}$AB2cosA，从而化简可得$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$，结合范围cosA∈（-1，1），可求$\frac{BE}{CF}$的取值范围．
解答 
解：∵3sinC=2sinB，可得：3AB=2AC，即：AC=$\frac{3}{2}$AB，
又∵点E，F分别是AC，AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}AB$，
∴在△ABE中，由余弦定理可得：BE2=AB2+AE2-2AB•AEcosA
=AB2+（$\frac{3}{4}$AB）2-2AB•$\frac{3}{4}$AB•cosA
=$\frac{25}{16}$AB2-$\frac{3}{2}$AB2cosA，
在△ACF中，由余弦定理可得：CF2=AF2+AC2-2AF•ACcosA
=（$\frac{1}{2}$AB）2+（$\frac{3}{2}$AB）2-2•$\frac{1}{2}$AB•$\frac{3}{2}$AB•cosA
=$\frac{5}{2}$AB2-$\frac{3}{2}$AB2cosA，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{\frac{\frac{25}{16}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}{\frac{5}{2}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$，
∵A∈（0，π），
∴cosA∈（-1，1），可得：$\frac{15}{40-24cosA}$∈（$\frac{15}{64}$，$\frac{5}{16}$），
∴可得：$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$∈$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．
故答案为：$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．
点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，不等式的解法在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
备战中考寒假系列答案| A． | 若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α | B． | 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β | ||
| C． | 若 m⊥α，m⊥β，则α∥β | D． | 若 m∥α，m?β，α∩β=n，则 m∥n |