题目内容

7．a1=1，an+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，则数列{an}的第6项是$\frac{1}{16}$．

分析 由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，则数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项公式即可求得数列{an}的第6项．

解答 解：由an+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，则$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
则$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，则数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，
∴an=$\frac{1}{3n-2}$，
当n=6，则a6=$\frac{1}{16}$，
故答案为：$\frac{1}{16}$

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题．

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