Question

12．已知函数f（x）=e^x-ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0处的极小值为2，求a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+ln（x+1），当x≥0时，g（x）≥1+b，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f（x）在x=0处的极小值为2，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（Ⅱ）问题转化为e^x-ax+ln（x+1）≥1在x∈[0，+∞）恒成立，令h（x）=e^x-ax+ln（x+1），（x≥0），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-a，
若f（x）在x=0处的极小值为2，
则 $\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=1-a=0}\\{f（0）=1+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）g（x）=f（x）+ln（x+1）=e^x-ax+b+ln（x+1），
当x≥0时，g（x）≥1+b，即e^x-ax+ln（x+1）≥1在x∈[0，+∞）恒成立，
令h（x）=e^x-ax+ln（x+1），（x≥0），
则h′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，
记m（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，则m′（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
当x≥0时，e^x＞1，$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$≤1，此时m'（x）≥0，
h'（x）在（0，+∞）上递增，
h'（x）≥h'（0）=2-a，
a≤2时，h′（x）≥0，
所以h（x）在[0，+∞）上递增，
故h（x）≥h（0）=1成立；
a＞2时，?x₀∈（0，+∞），使得h（x）在[0，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，
故h（x）_min=h（x₀）＜h（0）=1，不合题意，
故a≤2．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大．