Question

18．已知双曲线S的一个焦点与抛物线y²=12x的焦点相同，如果$y=-\sqrt{2}x$是双曲线S的一条渐近线，那么双曲线S的方程为$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$．

Answer 1

分析 根据题意，由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标，由题意可以设可以设S的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，分析可得a²+b²=9①和$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$②，联立①、②解可得a²、b²的值，代入双曲线方程即可得答案．

解答 解：根据题意，抛物线y²=12x的焦点为（3，0），
则双曲线S的焦点也为（3，0），可以设其方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则有a²+b²=9，①
若果$y=-\sqrt{2}x$是双曲线S的一条渐近线，则有$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，②
联立①、②解可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=3}\\{{b}^{2}=6}\end{array}\right.$，
故双曲线的方程为$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$；
故答案为：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，注意要先分析双曲线的焦点的位置．