Question

如图，O为坐标原点，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e₁；双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点分别为F₃，F₄，离心率为e₂，已知e₁e₂=

3

2

，且|F₂F₄|=

3

-1．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）过F₁作C₁的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C₂交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由斜率公式写出e₁，e₂，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；
（Ⅱ）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知，e1=

1- b2 a2

，e2=

1+ b2 a2

，且|F1F2|=2

a2-b2

．
∵e₁e₂=

3

2

，且|F₂F₄|=

3

-1．
∴

1- b2 a2

•

1+ b2 a2

=

3

2

，且

a2+b2

-

a2-b2

=

3

-1．
解得：a=

2

，b=1．
∴椭圆C₁的方程为

x2

2

+y2=1，双曲线C₂的方程为

x2

2

-y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F₁（-1，0）．
∵直线AB不垂直于y轴，
∴设AB的方程为x=ny-1，
联立

x=ny-1 x2 2 +y2=1

，得（n²+2）y²-2ny-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则y1+y2=

2n

n2+2

，y0=

n

n2+2

，y1y2=-

1

n2+2

．
则|AB|=

1+n2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+n2

( 2n n2+2 )2+ 4 n2+2

=

2 2 (n2+1)

n2+2

．
∵M在直线AB上，
∴x0=

n2

n2+2

-1=-

2

n2+2

．
直线PQ的方程为y=

y0

x0

x=-

n

2

x，
联立

y=- n 2 x x2 2 -y2=1

，得x2-2×(-

n

2

x)2-2=0．
解得x2=

4

2-n2

，代入y=-

n

2

x 得y2=

n2

2-n2

．
由2-n²＞0，得-

2

＜n＜

2

．
∴P，Q的坐标分别为(-

4 2-n2

，

n2 2-n2

)，(

4 2-n2

，-

n2 2-n2

)，
则P，Q到AB的距离分别为：d1=

|n• n2 2-n2 + 4 2-n2 -1|

n2+1

，d2=

|-n• n2 2-n2 - 4 2-n2 -1|

n2+1

．
∵P，Q在直线A，B的两端，
∴d1+d2=

|2n• n2 2-n2 +2 4 2-n2 |

n2+1

．
则四边形APBQ的面积S=

1

2

|AB|(d1+d2)=2

2

•

3 2-n2 -1

．
∴当n²=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．

点评：本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题．