Question

设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：记A_i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备
（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX_i，再利用数学期望公式计算即可．

解答： 解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1-0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1-0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1-0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1-0.4）=0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1-0.6）×0.5²×（1-0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.5²×（1-0.4）+（1-0.6）×0.5²×0.4+（1-0.6）×2×0.5²×（1-0.4）=0.25
P（X=4）=P（A₂•B•C）=0.5²×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）-P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）-P（X=4）=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2

点评：本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．