Question

13．如图，已知三棱锥P-ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，PB⊥面ABC，PB=12．
（Ⅰ）求二面角P-AC-B的正切值；
（Ⅱ）求直线BP与平面PAC所成的角正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过B作BD⊥AC，交AC于D，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-B的正切值．
（Ⅱ）求出平面PAC的法向量，由此利用向量法能求出直线BP与平面PAC所成的角正弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵三棱锥P-ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，PB⊥面ABC，PB=12，
∴cos∠ABC=$\frac{25+64-49}{2×5×8}$=$\frac{1}{2}$，∴sin$∠ABC=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×5×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$，
过B作BD⊥AC，交AC于D，则$\frac{1}{2}×AC×BD=10\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{2}×7}$=$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{20\sqrt{3}}{7}）^{2}}$=$\frac{5}{7}$，CD=$\sqrt{{8}^{2}-（\frac{20\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{44}{7}$，
以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，-$\frac{5}{7}$，0），C（0，$\frac{44}{7}$，0），P（$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，0，12），
$\overrightarrow{AC}$=（0，7，0），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，$\frac{5}{7}$，12），
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=7y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=\frac{20\sqrt{3}}{7}x+\frac{5}{7}y+12z=0}\end{array}\right.$，取x=7，得$\overrightarrow{n}$=（7，0，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-AC-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{172}{3}}}$=$\frac{5}{\sqrt{172}}$．
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{5}{\sqrt{172}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{172}}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{147}}{5}$．
∴二面角P-AC-B的正切值为$\frac{\sqrt{147}}{5}$．
（Ⅱ）B（$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，0，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，0，12），
平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（7，0，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
设直线BP与平面PAC所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{20\sqrt{3}}{12•\sqrt{\frac{172}{3}}}$=$\frac{5\sqrt{43}}{86}$，
∴直线BP与平面PAC所成的角正弦值为$\frac{5\sqrt{43}}{86}$．

点评 本题考查二面角的正切值的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．